Fourierova transformace vysvětluje podstatu Matrixu

Fourierova transformace se také využívá k oddělení signálu od šumu v datech shromážděných pro astronomii, medicínu, genetiku a chemii. Jedná se zároveň o nejdůležitější rovnici používanou při kompresi digitálních snímků a zvuku na webu.

Proslulý fyzik Lord Kelvin nepřeháněl, když v roce 1867 napsal: „Fourierův teorém není jen jedním z nejkrásnějších výsledků moderní analýzy, ale můžeme říci, že poskytne nepostradatelný nástroj ke zpracování takřka každé těžko pochopitelné otázky v moderní fyzice.“

Tuto rovnici objevil matematik baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier. Ve své konečné podobě se objevila v jeho knize Analytická teorie tepla. Jak již název napovídá, Fourier se zajímal hlavně o tok tepla kolem materiálů. Ale jeho matematické nástroje se ukázaly být mnohem dalekosáhlejší, než si nejspíše sám uvědomoval.

O čem vypovídá Fourierova transformace?

Rovnice v podstatě říká, že jakýkoliv složitý vlnový signál, který chceme měřit, a který se mění v čase anebo prostoru, může být rozložen na sumu známých, pravidelných sinusových vln – stejného typu jaké známe z oceánů nebo z vibrujících strun.

Přemýšlejme o složitém signálu jako o dortu. Dort obsahuje mouku, cukr, vejce a máslo. Chuť žádné z těchto přísad nezakoušíme jednotlivě, když si dopřejeme kousek finálního výrobku. Pokud si za dortem představíme vlnový jev, pak receptem je Fourierova transformace. Tedy seznam ingrediencí a návod, jak je zkombinovat.

A pokud chceme finální vlnový jev (dort) nějak přizpůsobit, je mnohem snazší udělat to tak, že nejdříve izolujeme jeho složky.

Písmenko F se nazývá transformace a popisuje vlastnosti specifické komponenty signálu vlnového typu při frekvenci „s“.

Konkrétně popisuje amplitudu (maximální výšku vlny nad nulou a pod ní) a fázi (kolik z vlnového cyklu už proběhlo vzhledem k pevnému bodu).

Na pravé straně rovnice reprezentuje f(x) proměnu signálu v prostoru (x je souřadnicí pozice). A to se násobí e (v matematice široce využívanou eulerovou konstantou s hodnotou 2,718) umocněnou na -i2πxs. To nám dává vlastnosti sinusové vlny při frekvenci „s“.

Ale vzhledem k tomu, že chceme sumu všech frekvencí, výraz na pravé straně se sčítá napříč celým prostorem pro pravidelně se zvyšující hodnoty „s“ (sčítání je reprezentováno integračním znakem – protaženým „S“ nalevo a „dx“ napravo).

Fourierova transformace laicky

Fourierova transformace dá dobře přiblížit například, když se podíváme na grafický ekvalizér starého hi-fi systému. Poskakující indikátory znázorňují sílu jednotlivých frekvencí v hudbě v kterémkoliv bodě v čase jako spektrum. Toto spektrum je vlastně okamžitým vyjádřením (ačkoliv jen hrubým) Fourierovy transformace zvuku vycházejícího z reprobeden.

Naše uši však provádějí Fourierovu transformaci nepřetržitě (nikoliv matematicky, ale víte, jak to myslím). Fyzikální podstatou zvukové vlny je soubor tlakových vln pohybujících se vzduchem.

Avšak to, co „slyšíme“, nejsou vibrace, které tyto vlny vytvářejí na ušním bubínku. Místo toho komponenty vnitřního ucha provádějí druh Fourierovy transformace. Rozplétají složeninu tlakové vlny a izolují specifické frekvence a jejich přidružené amplitudy. Převádí je na spektrum elektrických signálů a v této podobě odesílají do mozku. Náš mozek si pak toto proměnlivé spektrum vykládá jako zvuk.

Fourierova transformace reprezentuje stejné informace jako původní signál. Avšak v podobě, ve které s ní mohou inženýři a fyzici mnohem lépe pracovat.

Fourierova transfomace v empétrojkách

Řekněme, že chceme provést kompresi souborů s hudbou nebo mluveným slovem. Zatímco vinylové desky uchovávají analogový zvuk v povrchových výstupcích a prohlubních napodobujících tvar vlny, MP3 sestavuje seznam frekvencí a amplitud – Fourierovu transformaci – přítomných v každém okamžiku nahrávky.

Tím je snadné soubor přefiltrovat a zkomprimovat – můžete odmazat informace o frekvencích mimo spektrum lidského sluchu. Stejnou metodu lze použít i k vyčištění nahrávky. Pokud je v pozadí nahrávky šum, informace z Fourierovy transformace nám umožní izolovat a odmazat hlavní frekvence tohoto šumu a zbytek zachovat.

Fourierova transformace se dá také využít k vyčištění snímků, které ve své podstatě nejsou ničím jiným než dvourozměrnými signály, jejichž barva a jas se proměňují v prostoru. Například fotografie pořízená při slabém osvětlení může obsahovat velké množství šumu v podobě náhodných světelných bodů.

S pomocí Fourierovy transformace je můžeme odfiltrovat. Tento postup je obzvláště užitečný při čištění astronomických snímků z vesmírných sond a při zaostřování ohniska na oblast zájmu.

Fourierova transformace a postavení atomů v molekulách

Jednou z nejdůležitějších oblastí využití Fourierovy transformace je snaha o porozumění preciznímu postavení atomů v molekulách. Krystalografická věda je založena na ozařování krystalů látky, kterou chcete zkoumat, rentgenovými paprsky (řekněme například sůl, DNA nebo protein).

Rentgenové paprsky přicházejí z jedné strany, molekuly uvnitř zkoumané látky je rozptýlí a nakonec vytvoří na druhé straně obrazec světelných bodů. Intenzita a pozice každého z těchto bodů nám poskytuje informaci o amplitudě a frekvenci pro Fourierovu transformaci molekulární struktury krystalu.

Rentgenové paprsky rozptýlené krystalem v podstatě utvářejí Fourierovu transformaci molekuly uvnitř. Zpětným propočtem transformace mohou vědci využít obrazec rozptýlených paprsků k dovození původní trojrozměrné molekulární struktury.

V padesátých letech minulého století se tato metoda využívala k výpočtu struktury DNA a ve své dnešní podobě nám umožňuje nahlédnout do struktur složitých proteinů a virů.

Fourierova transformace v lékařství a při zemětřesení

Fourierova transformace se také využívá ke zpracování informací v lékařských zobrazovacích metodách včetně magnetické rezonance, počítačové tomografie a při ochraně budov před zemětřesením.

Když se země chvěje, Fourierova transformace nám může ukázat, které frekvence vibrací odevzdávají nejvíce energie svému okolí. Budovy zároveň mají své vlastní přirozené režimy vibrací (složitou verzi vibrujících strun na upřednostňovaných frekvencích). Pokud přirozená frekvence budovy odpovídá frekvenci zemětřesení, budova se otřásá silněji a je pravděpodobnější, že se zhroutí.

Architekti a stavební inženýři mohou pomocí výpočetních modelů vypracovat preferovanou vibrační frekvenci již v návrhu a pomocí informací z Fourierovy transformace místních zemětřesení naladit preferovanou frekvenci budovy tak, aby měla co nejlepší šanci zůstat stabilní, kdyby došlo k zemětřesení.

Alok Jha, Guardian